LIMIT
Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan
sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak
hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga.
Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis
matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.
Dalam pelajaran
matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap
kalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan
sesuatu yang mudah.
berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai
nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan
c. Dalam contoh ini, "limit dari f(x), bila x mendekati c, adalah L".
Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c) L.
Bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan pada titik c. Kedua
contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.
Sebagai contoh, pada
saat x mendekati 2. Dalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas
pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882
Semakin
x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu . Dalam kasus
dimana , f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak selalu
berlaku. Sebagai contoh,
Limit g(x) pada saat x mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti f(x)), namun ; g tidak kontinyu pada titik x = 2.
Atau, bisa diambil contoh dimana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c.
Dalam
contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada
titik x = 1 namun limitnya samadengan 2, karena makin x mendekati 1,
f(x) makin mendekati 2:
f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 undef 2.001 2.010 2.10
Jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, jadi limit dari f(x) adalah 2.
Definisi formal
Sebuah
limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila f adalah fungsi
yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik c
(dengan kemungkinan pengecualian pada titik c) dan L adalah bilangan
real, maka
berarti bahwa untuk setiap terdapat yang untuk semua x dimana , berlaku .
Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga
Konsep
yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah konsep
limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini
bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena
tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x menjadi
sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak
terhingga negatif).
Sebagai contoh, lihat .
• f(100) = 1.9802
• f(1000) = 1.9980
• f(10000) = 1.9998
Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa
Limit barisan
Perhatikan
barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa
angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.
Secara
formal, misalkan x1, x2, ... adalah barisan bilangan riil. Kita
menyebut bilangan riil L sebagai limit barisan ini dan menuliskannya
sebagai
yang artinya
Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli n0 sehingga untuk semua n > n0, |xn − L| < ε.
Secara
intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut
akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena
nilai absolut |xn − L| adalah jarak antara x dan L. Tidak semua barisan
memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, bila
tidak, disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya
memiliki satu limit.
Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat.
Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari
suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit
sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x +
1/n).
LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI
1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fungsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.
2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan
penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh
dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian
baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit
perhatikan hasil pembagian berikut :
0/a = 0 ; a/0 = ; /a = ; a/ = 0 ; ± a =konstanta)
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x 0 ) maka sin x x
(x <<< kecil sekali ; setara )
l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x 0 x x 0 x
l i m x = 1 l i m x = 1
x 0 sin x x 0 tg x
PERLUASAN
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 bx x 0 bx
l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x 0 sin bx x 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 sin bx x 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 tg bx x 0 sin bx
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:
cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x
HAL-HAL KHUSUS
l i m axm + bxm-1 + .... =
x pxn + qxn-1 + ... untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n
l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + f
x untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2a
- untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x g(x) x a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x 3
2. l i m 3x - 2 = (*) Uraikan
x 2x + 1
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = (*) Uraikan
x 10x + 9
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = - 1 - 0 = =
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
7. l i m (3x - 9x2 + 4x) = - (*) Hilangkan tanda akar
x
l i m (3x - 9x2 + 4x ) = 3x - 9x2 + 4x = (*) Hilangkan tanda
x 3x - 9x2 + 4x akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x 3x + (9x2 + 4x) x 3x + 3x [1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x 3 + 3(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
DIFERENSIAL
Kalkulus
diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang
mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input
nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah
turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan
sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang
bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik
sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik
tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan
pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Grafik
dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap
fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari
fungsi pada titik singgung
Proses pencarian turunan disebut
pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan
bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Turunan
mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan
dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan
turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak
kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama
dengan gaya yang diberikan kepada benda.
Laju reaksi dari reaksi
kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan
cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan
menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang
paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing.
Turunan sering
digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi.
Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan
diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam.
Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai
bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional,
geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
Misalkan x dan y
adalah bilangan real di mana y adalah fungsi dari x, yaitu y = f(x).
Salah satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalah fungsi linear.
Ini adalah grafik fungsi dari garis lurus. Dalam kasus ini, y = f(x) = m
x + c, di mana m dan c adalah bilangan real yang tergantung pada garis
mana grafik tersebut ditentukan. m disebut sebagai kemiringan dengan
rumus:
di mana simbol Δ (delta) memiliki arti "perubahan nilai". Rumus ini benar adanya karena
y + Δy = f(x + Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx.
Diikuti pula Δy = m Δx.
Namun,
hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear
tidak memiliki nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari f pada titik x
adalah pendekatan yang paling baik terhadap gagasan kemiringan f pada
titik x, biasanya ditandai dengan f'(x) atau dy/dx. Bersama dengan nilai
f di x, turunan dari f menentukan pendekatan linear paling dekat, atau
disebut linearisasi, dari f di dekat titik x. Sifat-sifat ini biasanya
diambil sebagai definisi dari turunan.
Sebuah istilah yang saling berhubungan dekat dengan turunan adalah diferensial fungsi.
Garis singgung pada (x, f(x))
Bilamana
x dan y adalah variabel real, turunan dari f pada x adalah kemiringan
dari garis singgung grafik f' di titik x. Karena sumber dan target dari f
berdimensi satu, turunan dari f adalah bilangan real. Jika x dan y
adalah vektor, maka pendekatan linear yang paling mendekati grafik f
tergantung pada bagaimana f berubah di beberapa arah secara bersamaan.
Dengan mengambil pendekatan linear yang paling dekat di satu arah
menentukan sebuah turunan parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x.
Linearisasi dari f ke semua arah secara bersamaan disebut sebagai
turunan total. Turunan total ini adalah transformasi linear, dan ia
menentukan hiperbidang yang paling mendekati grafik dari f. Hiperbidang
ini disebut sebagai hiperbidang oskulasi; ini secara konsep sama dengan
mengambil garis singgung ke semua arah secara bersamaan.
2. Penerapan turunan
2. 1. Optimalisasi
Jika
f adalah fungsi yang dapat diturunkan pada R (atau interval terbuka)
dan x adalah maksimum lokal ataupun minimum lokal dari f, maka turunan
dari f di titik x adalah nol; titik-titik di mana f '(x) = 0 disebut
titik kritis atau titik pegun (dan nilai dari f di x disebut nilai
kritis). (Definisi dari titik kritis kadang kala diperluas sampai
meliputi titik-titik di mana turunan suatu fungsi tidak eksis.)
Sebaliknya, titik kritis x dari f dapat dianalisa dengan menggunakan
turunan ke-dua dari f di x:
• jika turunan ke-dua bernilai positif, x adalah minimum lokal;
• jika turunan ke-dua bernilai negatif, x adalah maksimum lokal;
•
jika turunan ke-dua bernilai nol, x mungkin maksimum lokal, minimum
lokal, ataupun tidak kedua-duanya. (Sebagai contohnya, f(x)=x³ memiliki
titik kritis di x=0, namun titik itu bukanlah titik maksimum ataupun
titik minimum; sebaliknya f(x) = ±x4 mempunyai titik kritis di x = 0 dan
titik itu adalah titik minimum maupun maksimum.)
Ini dinamakan
sebagai uji turunan ke dua. Sebuah pendekatan alternatif lainnya, uji
turunan pertama melibatkan nilai f ' di kedua sisi titik kritis.
Menurunkan
fungsi dan mencari titik-titik kritis biasanya merupakan salah satu
cara yang sederhana untuk mencari minima lokal dan maksima lokal, yang
dapat digunakan untuk optimalisasi. Sesuai dengan teorema nilai
ekstremum, suatu fungsi yang kontinu pada interval tertutup haruslah
memiliki nilai-nilai minimum dan maksimum paling sedikit satu kali. Jika
fungsi tersebut dapat diturunkan, minima dan maksima hanya dapat
terjadi pada titik kritis atau titik akhir.
Hal ini juga mempunyai
aplikasi tersendiri dalam proses sketsa grafik: jika kita mengetahui
minima dan maksima lokal dari fungsi yang dapat diturunkan tersebut,
sebuah grafik perkiraan dapat kita dapatkan dari pengamatan bahwa ia
akan meningkat dan menurun di antara titik-titik kritis.
Di dimensi
yang lebih tinggi, titik kritis dari nilai skalar fungsi adalah titik di
mana gradien fungsi tersebut adalah nol. Uji turunan kedua masih dapat
digunakan untuk menganalisa titik-titik kritis dengan menggunakan
eigennilai matriks Hessian dari turunan parsial ke-dua fungsi di titik
kritis. Jika semua eigennilai tersebut adalah positif, maka titik
tersebut adalah minimum lokal; jika semuanya negatif, maka titik itu
adalah maksimum lokal. Jika ada beberapa yang positif dan beberapa yang
negatif, maka titik kritis tersebut adalah titik pelana, dan jika tidak
ada satupun dari keadaan di atas yang terpenuhi (misalnya ada beberapa
eigennilai yang nol) maka uji tersebut inkonklusif.
Kalkulus variasi
Salah
satu contoh masalah optimalisai adalah mencari kurva terpendek anatar
dua titik di atas sebuah permukaan dengan asumsi kurva tersebut harus
berada di permukaan tersebut. Jika permukaan tersebut adalah bidang
rata, maka kurva yang paling pendek berupa garis lurus. Namun jika
permukaannya tidak bidang, maka kita tidak bisa mengetahui secara pasti
kurva yang paling pendek. Kurva ini disebut sebagai geodesik, dan salah
satu masalah paling sederhana di kalkulus variasi adalah mencari
geodesik.Contoh lainnya adalah mencari luas permukaan paling kecil yang
dibatasi oleh kurva tertutup di ruang tiga dimensi. Permukaan ini
disebut sebagai permukaan minimum, dan ini dapat dicari dengan
menggunakan kalkulus variasi.
Persamaan diferential
Persamaan
diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan
turunan-turunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan
diferensial yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke
turunannya terhadap variabel itu sendiri. Persamaan diferensial parsial
adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki
lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial
muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam
matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang
menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi dapat dimulai
dengan persamaan diferensial biasa:
Persamaan kalor di variable
satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat berdifusi melalui
satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsial
Di
sini u(x, t) adalah temperatur tongkat pada posisi x dan waktu t dan α
adalah sebuah tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut
berdifusi.
Differensial (turunan) fungsi y = f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :
dy = l i m f(x + x) - f(x)
dx x 0 x
(Perbandingan perubahan y yang disebabkan karena perubahan x, untuk perubahan x yang kecil sekali)
Notasi lain : df/dx = f`(x) ; y`
RUMUS - RUMUS
1. FUNGSI ALJABAR
y = xn dy/dx = nxn-1 2. FUNGSI TRIGONOMETRI
y = sin x dy/dx = cos x
y = cos x dy/dx = - sin x
y = sin x dy/dx = sec²x
Sifat - sifat :
1. y = c (c=konstanta) dy/dx = 0
2. y = c U(x) dy /dx = c . U`(x)
3. y = U(x) ± V(x) dy /dx = U`(x) ± V`(x)
4. Bentuk perkalian
y = U(x) . V(x) dy/dx = U`(x).V(x) + U(x).V`(x)
5. Bentuk pembagian
y = U(x) dy = U`(x).V(x) - U(x).V`(x)
V(x) dx (V(x))²
6. Bentuk rantai
y = f(U) dan U = g(x) dy/dx = dy/du .du/dx
y = (ax + b)n
dy/dx = n(ax+b)n-1(a)
y = sin (ax + b)
dy/dx = (a) cos (ax+b)
y = sinn (ax + b)
dy/dx = n sinn-1(ax+b) [a cos (ax+b)]
Ket : Untuk menyelesaikan persoalan, sifat dan rumus-rumus ini dikombinasikan
1. MENENTUKAN KOEFISIEN ARAN GARIS SINGGUNG
(Gradien) di titik (x1y1) pada kurva y = f(x)
f`(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1,
Ket:
Khusus
untuk jenis fungsi kuadrat. Jika titik tidak terletak pada grafik, maka
gradien garis singgungnya dimisalkan dengan m yang dicari dengan
menggunakan persamaan garis y - y1 = m (x - x1) disinggungkan dengan
persamaan kurva y = f(x) dengan syarat D = 0 (D = diskriminan dari hasil
eliminasi kedua persamaan)
2. MENENTUKAN MONOTON FUNGSI
• Fungsi y = f(x) monoton naik pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) > 0
• Fungsi y = f(x) monoton turun pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) < 0
3. MENENTUKAN TITIK STASIONER
Fungsi y = f(x) Syarat stasioner f'(x) = 0
JENIS - JENISNYA
STASIONER :
MAKSIMUM
Syarat : f`(x) = 0 x = x0; f'' (x0) < 0 Titik maksimum (xo, f(xo))
MINIMUM
Syarat : f '(x) = 0 x = x0; f'' (x0) > 0 Titik Minimum (xo, f(xo))
BELOK
Syarat : f '(x) = 0 x = x0; f'' (x0) = 0 Titik belok (xo, f(xo))
Nilai Stasioner adalah nilai fungsi di absis titik stasioner
Keterangan :
1. Untuk menentukan jenis jenis titik stasioner dapat juga dicari dengan melihat perubahan tanda disekitar titik stasioner.
Langkah :
a. Tentukan absis titik stasioner dengan syarat f '(x) = 0 x = xo
b. Buat garis bilangan f '(x)
c. Tentukan tanda-tanda disekitar titik stasioner dengan mensubstitusi sembarang titik pada f '(x)
d. Jenis titik stasioner ditentukan oleh perubahan tanda di sekitar
titik stasioner.
ket : f`(x) > 0 grafik naik
f`(x) > 0 grafik turun
2.
Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam interval tertutup didapat
dari nilai stasioner fungsi dalam interval itu atau dari nilai fungsi
pada ujung - ujung interval
